[Dịch][Hoa Kỳ] Anthropic Fable tìm được phản ví dụ, bác bỏ giả thuyết Jacobi đã tồn tại suốt 85 năm

Konstante đã nói:

Không phải ví dụ từ trên trời rơi xuống.

Theo thông tin đọc được thì Fable có nói rằng nó "chế" ra ví dụ từ một bài báo của A.G. Vituskhin (bài này). Nguyên văn Fable có nói (ở đây)

The seed is almost certainly Vitushkin's old rational "counterexample." F = (x²y⁶ + 2xy², xy³ + 1/y) on ℂ² has constant Jacobian −2 and identifies (−3,−1) with (1,1) — but has a pole, so it proves nothing. Our map also has det −2, and it's built to fix exactly Vitushkin's defect: the mechanism in both is composing two maps with non-constant Jacobians δ and −2/δ that cancel. In 2D the reciprocal factor forces denominators; the third variable is the room needed to absorb them. Concretely, the map is affine-linear in z — F = A(x,y) + z·B(x,y) with B = (s³, 3xs², −x³), s = 1+xy — and setting T = s²z + 3sy² + y², it collapses to F = (sT, y + 3xT, 2x − 3x²y − x³z). The s² in front of z is precisely the Jacobian factor being cancelled polynomially instead of rationally.

Trong bài đó thì Vituskhin đưa ra ví dụ với hàm trong C^2:
Xem tệp đính kèm 3722263
hàm này có Jacobienne là:
Xem tệp đính kèm 3722265
với định thức cũng là -2 (trùng với phản ví dụ của Fable).

Nhấp để mở rộng...

pocoman2 đã nói:

Mô hình dc train bởi cả đống data trên mạng.

Khả năng là có 1 ông nào đó gần tìm ra phản ví dụ nhưng bỏ cuộc giữa chừng. Hoặc có lý thuyết nào đó để biết được dạng toán học nếu tồn tại phản ví dụ phải ở 1 dạng nào đó. Từ đó con bot dc thu hẹp được đáng kể không gian tìm kiếm của nó.

Nhấp để mở rộng...

dontxiaolin.6 đã nói:

tôi cần Fable phản bác lý thuyết của bọn câm mu nít, đưa ra bằng chứng lý thuyết của tụi nó chỉ đáng vứt vào sọt rác

Nhấp để mở rộng...

bribnt đã nói:

Nội quy không cho post link X nên post tạm bài này.
Đây là phản ví dụ, có thể tự check bằng tay
Hàm:

Mã:

(1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy),
y + 3 x (1+xy)^2  z + 3 x y^2 (4+3xy),
2 x - 3 x^2 y - x^3 z

có định thức Jacobi là -2, và map (0, 0, -1/4) , (1, -3/2, 13/2) và (-1, 3/2, 13/2) đến (-1/4, 0, 0)

Nhấp để mở rộng...

dadada1234 đã nói:

Nhiều người vẫn còn nghĩ LLM như Google Search search trong db thế nhỉ

Nhấp để mở rộng...

cool-girl đã nói:

LLM của anh chắc 2024

Nhấp để mở rộng...

Lê Thị Hồng đã nói:

LLM nó là reasoning ông anh ạ, ko phải là database lookup. để kiểm chứng thì cứ hỏi mấy câu hư cấu viển tưởng đi rồi xem cách nó trả lời.

Nhấp để mở rộng...

Konstante đã nói:

Không phải từ trên trời rơi xuống.

Theo thông tin đọc được thì Fable có nói rằng nó "chế" ra ví dụ từ một bài báo của A.G. Vituskhin (bài này). Nguyên văn Fable có nói (ở đây):

The seed is almost certainly Vitushkin's old rational "counterexample." F = (x²y⁶ + 2xy², xy³ + 1/y) on ℂ² has constant Jacobian −2 and identifies (−3,−1) with (1,1) — but has a pole, so it proves nothing. Our map also has det −2, and it's built to fix exactly Vitushkin's defect: the mechanism in both is composing two maps with non-constant Jacobians δ and −2/δ that cancel. In 2D the reciprocal factor forces denominators; the third variable is the room needed to absorb them. Concretely, the map is affine-linear in z — F = A(x,y) + z·B(x,y) with B = (s³, 3xs², −x³), s = 1+xy — and setting T = s²z + 3sy² + y², it collapses to F = (sT, y + 3xT, 2x − 3x²y − x³z). The s² in front of z is precisely the Jacobian factor being cancelled polynomially instead of rationally.

Trong bài đó thì Vituskhin đưa ra ví dụ với hàm trong C^2:
Xem tệp đính kèm 3722263
hàm này có Jacobienne là:
Xem tệp đính kèm 3722265
với định thức cũng là -2 (trùng với phản ví dụ của Fable).

Nhấp để mở rộng...

pocoman2 đã nói:

Dell ai chả biết. Nhưng nó cũng phải dựa vào những công trình có sẵn feed cho nó để nó reasoning. Chưa kể cái ông prompt là 1 nhà toán học thì ko biết ông đó mồi cho con AI cái gì để nó tìm ra.

Chứ có sẵn để mà look up thì tất nhiên người đó đã publish phản ví dụ trước cmnr chứ đâu được tính cho AI nghĩ ra.

Lợi thế của AI là nó dc feed rất nhiều các công trình khoa học của những người đời trước và nó có thể phát triển nhanh hơn con người (vì người thì thường mỗi thời điểm chỉ có thể tập trung vào 1 hướng). Còn lại muốn làm thì nó cũng phải dựa vào các định lý có sẵn, các công trình khoa học để lại, cũng như các nhà toán học khác thôi. Chưa nói chuyện dell biết a tác giả a ý prompt cho nó những cái gì. Chứ các anh nghĩ chỉ prompt: cho tao 1 phản ví dụ cái định lý XYZ rồi từ không khí con bot đó nó chế ra cho anh chăng?

Cái quan tâm ở đây là nó tìm ra bằng cách nào?

à đấy, có bác đề cập ở #39 kìa.

Nhấp để mở rộng...

bribnt đã nói:

Tầm này vài tháng nữa AI phủ định được giả thuyết Riemann hoặc giả thiết Collatz cũng nên.

Nhấp để mở rộng...

Konstante đã nói:

Được, mình sẽ thử. Để đơn giản hóa thì ta làm việc trong không gian 3 chiều thôi.

Giả thuyết kia nói rằng: nếu như một phép biến dạng "regular" trong không gian 3 chiều (tưởng tượng ta "bóp" một cục đất sét chẳng hạn, nhưng không cắt rời cục đất sét đó ra), sao cho trong quá trình "bóp" thì thể tích của mọi nơi trong khối đất sét đó không thay đổi (chính xác hơn là thể tích luôn bị thay đổi theo cùng tỷ lệ). Thế thì từ cục đất sét biến dạng, ta có thể "nắn" ngược lại để thu được cục đất sét ban đầu.

Phản ví dụ kia nói rằng giả thuyết là sai bằng cách chỉ ra một phép "bóp", nhưng không có cách nào để "nắn" ngược lại.

Nhấp để mở rộng...

dontxiaolin.6 đã nói:

tôi cần Fable phản bác lý thuyết của bọn câm mu nít, đưa ra bằng chứng lý thuyết của tụi nó chỉ đáng vứt vào sọt rác

Nhấp để mở rộng...

Konstante đã nói:

Check bằng tay hơi khoai.

Giả thuyết này phát biểu rất đơn giản: Xét f là một ánh xạ đa thức từ R^n vào R^n (giả thuyết thay R bằng một trường đặc số 0, nhưng ở đây ta chỉ cần xét R), nếu như ma trận Jacobienne (ma trận các đạo hàm riêng) của f có định thức là một hằng số khác 0, thì f có hàm ngược cũng là một ánh xạ đa thức.

Phản ví dụ kia chỉ ra ánh xạ đa thức sau đây trong R^3:
Xem tệp đính kèm 3721973
có ma trận Jacobienne:
Xem tệp đính kèm 3721977
ma trận này có định thức bằng -2 (mình tính bằng sympy).
Nhưng f không tồn tại hàm ngược (vì có 2 giá trị khác nhau ánh xạ vào cùng một ảnh).

Thật không thể hiểu bằng cách nào Fable có thể tìm ra phản ví dụ này.

Nhấp để mở rộng...

Konstante đã nói:

Check bằng tay hơi khoai.

Giả thuyết này phát biểu rất đơn giản: Xét f là một ánh xạ đa thức từ R^n vào R^n (giả thuyết thay R bằng một trường đặc số 0, nhưng ở đây ta chỉ cần xét R), nếu như ma trận Jacobienne (ma trận các đạo hàm riêng) của f có định thức là một hằng số khác 0, thì f có hàm ngược cũng là một ánh xạ đa thức.

Phản ví dụ kia chỉ ra ánh xạ đa thức sau đây trong R^3:
Xem tệp đính kèm 3721973
có ma trận Jacobienne:
Xem tệp đính kèm 3721977
ma trận này có định thức bằng -2 (mình tính bằng sympy).
Nhưng f không tồn tại hàm ngược (vì có 2 giá trị khác nhau ánh xạ vào cùng một ảnh).

Thật không thể hiểu bằng cách nào Fable có thể tìm ra phản ví dụ này.

Nhấp để mở rộng...

dontxiaolin.6 đã nói:

tôi cần Fable phản bác lý thuyết của bọn câm mu nít, đưa ra bằng chứng lý thuyết của tụi nó chỉ đáng vứt vào sọt rác

Nhấp để mở rộng...

Lan Già Quá đã nói:

ngôn ngữ cao siêu gì vậy.

Nhấp để mở rộng...

sontacken đã nói:

anh này có viết tiếng Việt không sao chữ thì nhiều mà tôi đọc không hiểu gì nhể

Nhấp để mở rộng...

bribnt đã nói:

Cái giả thiết Jacobi này là một trong những giả thiết dễ hiểu nhất, cần ít kiến thức mà vẫn hiểu được rồi.

Cái phản ví dụ này ai cũng có thể tự check bằng giấy bút được, không cần công cụ hay định lý cao cấp gì hết.

Nhấp để mở rộng...

pocoman2 đã nói:

Dell ai chả biết. Nhưng nó cũng phải dựa vào những công trình có sẵn feed cho nó để nó reasoning. Chưa kể cái ông prompt là 1 nhà toán học thì ko biết ông đó mồi cho con AI cái gì để nó tìm ra.

Chứ có sẵn để mà look up thì tất nhiên người đó đã publish phản ví dụ trước cmnr chứ đâu được tính cho AI nghĩ ra.

Lợi thế của AI là nó dc feed rất nhiều các công trình khoa học của những người đời trước và nó có thể phát triển nhanh hơn con người (vì người thì thường mỗi thời điểm chỉ có thể tập trung vào 1 hướng). Còn lại muốn làm thì nó cũng phải dựa vào các định lý có sẵn, các công trình khoa học để lại, cũng như các nhà toán học khác thôi. Chưa nói chuyện dell biết a tác giả a ý prompt cho nó những cái gì. Chứ các anh nghĩ chỉ prompt: cho tao 1 phản ví dụ cái định lý XYZ rồi từ không khí con bot đó nó chế ra cho anh chăng?

Cái quan tâm ở đây là nó tìm ra bằng cách nào?

à đấy, có bác đề cập ở #39 kìa.

Nhấp để mở rộng...

Konstante đã nói:

Vấn đề là giả thuyết này thực sự khó chứ không phải đùa.
Đây là một giả thuyết trong hình học đại số và đã có nhiều người thử sức rồi. Nó nằm trong danh sách 18 bài toán mà Smale đưa ra (Smale có giải Fields) nên nó có tầm quan trọng nhất định.
Yitang Zhang (người đã giải quyết vấn đề về các cặp số nguyên tố) đã mất 7 năm để nghiền ngẫm mà không có kết quả.

Nhấp để mở rộng...

Konstante đã nói:

Check bằng tay hơi khoai.

Giả thuyết này phát biểu rất đơn giản: Xét f là một ánh xạ đa thức từ R^n vào R^n (giả thuyết thay R bằng một trường đặc số 0, nhưng ở đây ta chỉ cần xét R), nếu như ma trận Jacobienne (ma trận các đạo hàm riêng) của f có định thức là một hằng số khác 0, thì f có hàm ngược cũng là một ánh xạ đa thức.

Phản ví dụ kia chỉ ra ánh xạ đa thức sau đây trong R^3:
Xem tệp đính kèm 3721973
có ma trận Jacobienne:
Xem tệp đính kèm 3721977
ma trận này có định thức bằng -2 (mình tính bằng sympy).
Nhưng f không tồn tại hàm ngược (vì có 2 giá trị khác nhau ánh xạ vào cùng một ảnh).

Thật không thể hiểu bằng cách nào Fable có thể tìm ra phản ví dụ này.

Nhấp để mở rộng...

Konstante đã nói:

Ý mà thím nói rất quan trọng. Vì đưa ra một phản ví dụ như thế này không có nhiều ý nghĩa. Tất cả những hệ số, số mũ lũy thừa, etc. trong ví dụ phải là hệ quả của một điều gì đó sâu sắc và nền tảng hơn. Và quan trọng nhất là hiểu được động cơ đằng sau đưa ra được nó.

Nhấp để mở rộng...