[Dịch][Hoa Kỳ] Anthropic Fable tìm được phản ví dụ, bác bỏ giả thuyết Jacobi đã tồn tại suốt 85 năm

riemann đã nói:

giải thuyết jacobian phát biểu cho ãx đa thức trên C^n, trên R^n ng ta biết sai từ rất lâu.

Nhấp để mở rộng...

riemann đã nói:

Qua nhiều ý nghĩa chứ, nó giúp cho bao nhiêu người dừng công việc đi tìm cm. Những cái sâu sắc này kia cứ tính sau (mà chưa chắc đã có). trc mắt thì đây là một đột phá lớn.

Nhấp để mở rộng...

riemann đã nói:

giải thuyết jacobian phát biểu cho ãx đa thức trên C^n, trên R^n ng ta biết sai từ rất lâu.

Nhấp để mở rộng...

bribnt đã nói:

Cái này fen nói rõ hơn được không?

Nếu đã biết là sai trên R^n thì đương nhiên cũng sẽ sai trên C^n rồi vì R là sub field của C mà.

Nhấp để mở rộng...

Konstante đã nói:

Được, mình sẽ thử. Để đơn giản hóa thì ta làm việc trong không gian 3 chiều thôi.

Giả thuyết kia nói rằng: nếu như một phép biến dạng "regular" trong không gian 3 chiều (tưởng tượng ta "bóp" một cục đất sét chẳng hạn, nhưng không cắt rời cục đất sét đó ra), sao cho trong quá trình "bóp" thì thể tích của mọi nơi trong khối đất sét đó không thay đổi (chính xác hơn là thể tích luôn bị thay đổi theo cùng tỷ lệ). Thế thì từ cục đất sét biến dạng, ta có thể "nắn" ngược lại để thu được cục đất sét ban đầu.

Phản ví dụ kia nói rằng giả thuyết là sai bằng cách chỉ ra một phép "bóp", nhưng không có cách nào để "nắn" ngược lại.

Nhấp để mở rộng...

Husqvarna701SM đã nói:

về cơ bản là giả thiết này cho rằng nếu hàm số thỏa mãn giả thiết đó thì có tồn tại hàm ngược (tức là g(f(X)) = X. nhưng phản ví dụ đưa ra 1 hàm thỏa mãn giả thiết, nhưng lại tồn tại 2 bộ X1, X2 sao cho f(X1)=f(X2) -> không thể tồn tại hàm ngược (để là hàm ngược thì cần phải đơn ánh)

Nhấp để mở rộng...

Konstante đã nói:

Không phải từ trên trời rơi xuống.

Theo thông tin đọc được thì Fable có nói rằng nó "chế" ra ví dụ từ một bài báo của A.G. Vituskhin (bài này). Nguyên văn Fable có nói (ở đây):

The seed is almost certainly Vitushkin's old rational "counterexample." F = (x²y⁶ + 2xy², xy³ + 1/y) on ℂ² has constant Jacobian −2 and identifies (−3,−1) with (1,1) — but has a pole, so it proves nothing. Our map also has det −2, and it's built to fix exactly Vitushkin's defect: the mechanism in both is composing two maps with non-constant Jacobians δ and −2/δ that cancel. In 2D the reciprocal factor forces denominators; the third variable is the room needed to absorb them. Concretely, the map is affine-linear in z — F = A(x,y) + z·B(x,y) with B = (s³, 3xs², −x³), s = 1+xy — and setting T = s²z + 3sy² + y², it collapses to F = (sT, y + 3xT, 2x − 3x²y − x³z). The s² in front of z is precisely the Jacobian factor being cancelled polynomially instead of rationally.

Trong bài đó thì Vituskhin đưa ra ví dụ với hàm trong C^2:
Xem tệp đính kèm 3722263
hàm này có Jacobienne là:
Xem tệp đính kèm 3722265
với định thức cũng là -2 (trùng với phản ví dụ của Fable).

Nhấp để mở rộng...

Konstante đã nói:

Được, mình sẽ thử. Để đơn giản hóa thì ta làm việc trong không gian 3 chiều thôi.

Giả thuyết kia nói rằng: nếu như một phép biến dạng "regular" trong không gian 3 chiều (tưởng tượng ta "bóp" một cục đất sét chẳng hạn, nhưng không cắt rời cục đất sét đó ra), sao cho trong quá trình "bóp" thì thể tích của mọi nơi trong khối đất sét đó không thay đổi (chính xác hơn là thể tích luôn bị thay đổi theo cùng tỷ lệ). Thế thì từ cục đất sét biến dạng, ta có thể "nắn" ngược lại để thu được cục đất sét ban đầu.

Phản ví dụ kia nói rằng giả thuyết là sai bằng cách chỉ ra một phép "bóp", nhưng không có cách nào để "nắn" ngược lại.

Nhấp để mở rộng...

Konstante đã nói:

Được, mình sẽ thử. Để đơn giản hóa thì ta làm việc trong không gian 3 chiều thôi.

Giả thuyết kia nói rằng: nếu như một phép biến dạng "regular" trong không gian 3 chiều (tưởng tượng ta "bóp" một cục đất sét chẳng hạn, nhưng không cắt rời cục đất sét đó ra), sao cho trong quá trình "bóp" thì thể tích của mọi nơi trong khối đất sét đó không thay đổi (chính xác hơn là thể tích luôn bị thay đổi theo cùng tỷ lệ). Thế thì từ cục đất sét biến dạng, ta có thể "nắn" ngược lại để thu được cục đất sét ban đầu.

Phản ví dụ kia nói rằng giả thuyết là sai bằng cách chỉ ra một phép "bóp", nhưng không có cách nào để "nắn" ngược lại.

Nhấp để mở rộng...

bribnt đã nói:

Cái này fen nói rõ hơn được không?

Nếu đã biết là sai trên R^n thì đương nhiên cũng sẽ sai trên C^n rồi vì R là sub field của C mà.

Nhấp để mở rộng...